Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны, боковая сторона равна $\sqrt{10}$ . Найдите площадь треугольника.

В равнобедренном треугольнике две медианы могут быть взаимно перпендикулярны только к боковым сторонам.
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Обозначим эти части х и 2х.
Тогда половина боковой стороны — гипотенуза прямоугольного треугольника.
(v10/2)? = х? + (2х)?.
10/4 = 5х?.
20х? = 10.
х = 1/v2, 2х = 2/v2.
Треугольник с основанием тоже прямоугольный и с острыми углами по 45 градусов.
Тогда основание равно 2*(2х*cos45°) = 2*((2/v2)*(v2/2)) = 2.
Высота треугольника равна v((v10)?-(2/2)?) = v(10-1) = v9 = 3.
Площадь треугольника равна (1/2)2*3 = 3 кв.ед.

Оцени ответ